写像 $f: G \times G \to G ; \ \ a,b \mapsto a \cdot b$ を $G$ 上の二項演算という。これを二項演算 $\cdot$ と書くとする。
集合 $G$ に二項演算 $\cdot$ が与えられて以下を満たすとき、$G$ は群であるという。
- 任意の $a,b,c \in{G}$ について、 $a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c$ が成り立つ。(結合法則)
- 任意の $x \in{G}$ について、$ex=x \ , \ xe=x$ となる $e \in{G}$が存在する。(単位元)
- 任意の $x \in{G}$ について、$xx^{-1}=e$ となる$x^{-1} \in{G}$が存在する。(逆元)