群・環・体の定義は？

二項演算

写像 $f: G \times G \to G ; \ \ a,b \mapsto a \cdot b$ を $G$ 上の二項演算 (binary operation) という。

以下では2つの二項演算をそれぞれ「 $ \cdot $ 」「 $ + $ 」と書くとする。

結合則

任意の $a,b,c \in{G}$ について、 $a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c$ という条件を結合則 (associativity law) という。

可換則

任意の $a,b \in{G}$ について、 $a \cdot b=b \cdot a$ という条件を可換則 (commutative law) という。

分配則

任意の $a,b,c \in{G}$ について、 $a \cdot (b+c)=(a \cdot b) + (a \cdot c) ,$ $(b+c) \cdot a =(b \cdot a) + (c \cdot a) $ という条件を分配則 (distributive law) という。

単位元

任意の $x \in{G}$ について、$e \cdot x=x \ , \ x \cdot e=x$ となる $e \in{G}$ を単位元 (identity element) という。

逆元

任意の $x \in{G}$ について、$x \cdot x^{-1}=e \ , \ x^{-1} \cdot x=e$ となる $x^{-1} \in{G}$ を逆元 (inverse element) という。

集合 $G$ に二項演算が与えられて以下を満たすとき、$G$ は群 (group) であるという。

• 結合則が成り立つ。
• 単位元が存在する。
• 逆元が存在する。

また、可換則が成り立つ群をアーベル群または可換群 (abelian group, commutative group) という。

集合 $A$ に2つの二項演算が与えられて以下を満たすとき、$A$ は環 (ring) であるという。

以下では2つの二項演算をそれぞれ、加法、乗法、と書くとする。

• $A$ は加法についてアーベル群である。
• 乗法の結合則が成り立つ。
• 分配則が成り立つ。

また、乗法の可換則が成り立つ環を可換環 (commutative ring) という。

以下では加法の単位元を $0$ 、乗法の単位元を $1$ と書くとする。

$1$ をもつ環 $A$ の元 $a$ について、$ab=ba=1$ となる $b \in A$ が存在するとき、$a$ を単元または可逆元 (unit, invertible element) という。

$1(\neq 0)$をもつ環 $K$ の $0$ でない任意の元が単元であるとき、$K$ は斜体または可除環 (skew field, division ring) であるという。

また、乗法の可換則が成り立つ斜体を体 (field) という。