これはすべての $x$ について収束する．
これはすべての $x$ について収束する．
これはすべての $x$ について収束する．
$ e^x $ のマクローリン展開の $x$ を $xi$ と置き換えると
\[ e^{xi} = 1 + \frac{xi}{1!} + \frac{(xi)^2}{2!} + \frac{(xi)^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(xi)^n}{n!} \]となり，これを実部と虚部で分けるように変形すると
\[ e^{xi} = \Bigl(1 + \frac{(xi)^2}{2!} + \frac{(xi)^4}{4!} + \cdots \Bigl)+ \Bigl(\frac{xi}{1!} + \frac{(xi)^3}{3!} + \frac{(xi)^5}{5!} + \cdots \Bigl) \] \[ e^{xi} = \Bigl(1 - \frac{(x)^2}{2!} + \frac{(x)^4}{4!} - \cdots \Bigl)+ i \Bigl(\frac{x}{1!} - \frac{(x)^3}{3!} + \frac{(x)^5}{5!} - \cdots \Bigl) \]となり，右辺に三角関数のマクローリン展開が現れ，
\[ e^{xi} = \cos x + i \sin x \]となる．これはオイラーの公式（Euler's formula）と呼ばれている．
お約束だが，$x$ を $\pi$ と置くと
\[ e^{\pi i} = -1 \]が得られる．これはオイラーの等式と呼ばれている．美しいとのことで，もてはやされている．
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