内積・外積の定義は？
最終更新日：
2022-12-30
内積の定義
ベクトル$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$について
\[
(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})
=\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|\cos\theta
=\boldsymbol{a}^\mathrm{T}\boldsymbol{b}
\]
を$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$の内積(inner product)という。
外積の定義
ベクトル$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$について、
$\boldsymbol{c}$は$\boldsymbol{a}$とも$\boldsymbol{b}$とも直行し、
$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$が右手系で、
$\|\boldsymbol{c}\|=1$のとき
\[
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}
=(\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|\sin \theta )\boldsymbol{c}
\]
を$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$の外積(ベクトル積、outer product)という。
補足
ベクトルが三次元の場合、
\[
\begin{pmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_2b_3 - a_3b_2 \\
a_3b_1 - a_1b_3 \\
a_1b_2 - a_2b_1
\end{pmatrix}
\]
参考文献