内積・外積の定義は?

最終更新日: 2022-12-30

内積の定義

ベクトル$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$について \[ (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}) =\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|\cos\theta =\boldsymbol{a}^\mathrm{T}\boldsymbol{b} \] を$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$の内積(inner product)という。

外積の定義

ベクトル$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$について、 $\boldsymbol{c}$は$\boldsymbol{a}$とも$\boldsymbol{b}$とも直行し、 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$が右手系で、 $\|\boldsymbol{c}\|=1$のとき \[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} =(\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|\sin \theta )\boldsymbol{c} \] を$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$の外積(ベクトル積、outer product)という。

補足

ベクトルが三次元の場合、 \[ \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} \]

参考文献